Mathematik

Schönheit in der Mathematik

Lange bevor ich die Bedeutung und den Hintergrund der Formel

verstand, stand aufgrund dieser Formel für mich die Verbindung zwischen Mathematik und etwas Anderem, etwas Transzendentem fest. Dass die wichtigsten Konstanten der gesamten Analysis, nämlich 0,1,e,p und i, darin auf so elegante Weise verbunden werden können, verursacht eine eigene Faszination.

Die Rechnung mit Hochzahlen ist an sich schon höchst interessant, vor allem, wenn man in frühen Jahren lernt, dass Brüche als Wurzeln zu berechnen sind und negative Hochzahlen zu Brüchen führen. Aber wie bitte stellt man sich eine imaginäre Hochzahl vor, die vor allem darüber hinaus noch einen transzendenten Koeffizienten hat?

Während des Studiums, bei dem die trigonometrischen Funktionen speziell in der Elektrotechnik eine hohe praktische Bedeutung haben, wurde ich auch mit der Beweisführung konfrontiert. Es beschlich mich ein schales Gefühl, dass der Weg über die Reihenentwicklung von e hoch x mit seiner Zerlegung in Real- und Imaginärteil irgendwie eine Schummelei darstellt. Fast so, als patzte man die Schönheit an.

Ein lieber Freund schenkte mir 30 Jahre später das Buch Die Top Ten der schönsten mathematischen Sätze von Pierre Basieux (Rowohlt Taschenbuchverlag, 2000) und dort las ich zu meiner großen Freude, dass diese Formel von der Mehrzahl der befragten Personen als schönste Formel empfunden und gewertet wurde.

Es soll hier nicht der Versuch unternommen werden, hier näher darauf einzugehen. Im angegebenen Buch findet sich eine gut verständliche Darstellung des Beweises. Allerdings soll hier der Ordnung halber angegeben werden, dass es sich um einen Spezialfall der bereits um 1748 aufstellten Formel von Leonhard Euler handelt:

“Schönheit und Verzweiflung liegen eng beisammen”

Während in der obigen Darstellung eine wundervolle Zusammenführung von undenkbaren Entitäten auf die einfachen Zahlen 0 und 1 gezeigt werden kann, gibt es seit der zweiten Hälfte des 20.ten Jahrhunderts eine (zumindest für mich) genau gegenläufige Divergenz.

Selbst in der Zahlentheorie gibt es statistische Unsicherheit. (Salopp formuliert kann man sagen, dass man selbst dann eine bestimmte Größe nicht berechnen kann, wenn man eine klare und nicht einmal lange Rechenvorschrift dafür hat.) Seit Gregory Chaitin gibt es einen dahingehenden Beweis, der von den Physikern wesentlich lieber als von den Mathematikern und Logikern akzeptiert wird.

www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/ ist die Adresse der homepage des Mathematikers der seit 1960 auf dem Gebiet forscht. Auf dieser Seite finden sich auch für Laien verständliche und wissenschaftliche Darstellung über das Thema “Incompleteness”.

Ich möchte hier keine weitere Erklärung formulieren, die vom Autor selbst wesentlich besser dargestellt werden kann. Selbstverständlich ist in der Abfolge von Gödel, Turing, Heisenberg und Popper diese spezielle Entwicklung der Mathematik in diese Richtung nur ein weiterer Beweis, wie wenig wir in Wirklichkeit erfassen können.

Sans les mathématiques on ne pénètre point au fond de la philosophie. Sans la philosophie on ne pénètre point au fond des mathématiques. Sans les deux on ne pénètre au fond de rien. - Leibniz

(Ohne Mathematik kann man nicht Philosophie ergründen, ohne Philosophie kann man nicht Mathematik ergründen. Ohne die beiden kann man gar nichts wirklich ergründen.)